Живописец, график. Родился в семье чиновника. Первоначальное художественное образование получил в Феодосии под руководством И. К. Айвазовского и А. И. Фесслера. В 1891 переехал в Петербург. В 1891–1897 учился в ИАХ и (после реформы Академии) в Высшем художественном училище живописи, скульптуры и архитектуры. С 1895 занимался в мастерской А. И. Куинджи. В 1895 и 1896 выезжал вместе с ним в Крым, в окрестности Симеиза. В 1897 за картину «На горах» получил звание художника. В 1898 вместе с другими учениками Куинджи и на его средства совершил поездку в Германию, Францию, Австрию. До 1903 жил в Петербурге, затем — в Феодосии. В 1897–1898 принимал участие в выставках Московского обществе любителей художеств, в 1903–1905 и 1907 в — выставках Мюнхенского Сецессиона. В 1905 стал одним из основателей Нового общества художников в Петербурге. В 1906–1910 входил в Товарищество южнорусских художников. В 1905–1907 создал серию рисунков к стихотворному сборнику М. А. Волошина «Книга странствий». В 1908–1909 на стипендию фонда Е. Д. Поленовой посетил Германию, Италию и Грецию. В 1910 сотрудничал с журналом «Аполлон». В 1911–1912 работал над декоративными панно для особняка М. П. Рябушинского в Москве (погибли во время пожара в 1995). С 1910 экспонировал свои работы на выставках возобновленного «Мира искусства» (до 1915 с перерывами). После революции работал в Крымском комитете по охране памятников искусства и старины, выполнял зарисовки архитектурных достопримечательностей Крыма. Участвовал в организации Феодосийских Государственных свободных художественных мастерских и Народной студии при Феодосийской картинной галерее им. И. К. Айвазовского. В 1923 стал одним из основателей творческого объединения «Жар-цвет». В 1927, 1932, 1938 прошли персональные выставки Богаевского в Феодосии, в 1927 — в Казани. В 1933 художник был удостоен звания «Заслуженный деятель искусств РСФСР». Совершил несколько творческих поездок по стране, в 1930 посетил Баку, в 1930–1932 — Днепрострой, в 1934–1935 — Донбасс и Мариуполь. Ретроспективные выставки произведений мастера прошли в 1961 и 1972 в Москве, 1963, 1972 — в Феодосии, 1964 и 1967 — в Симферополе. Художник выработал собственный узнаваемый стиль в искусстве, близкий эстетическим принципам символизма. В большей части живописных и графических работ Богаевского запечатлены виды Киммерии в восточной части Крыма, однако благодаря композиционному строю и колористическому решению они производят впечатление вымышленных, нереальных пейзажей, словно существующих вне времени. Для этого он сознательно избавлял композицию от случайного и сиюминутного (например, изменчивого освещения), выбирал, как правило, низкую точку зрения, благодаря чему добивался эпического размаха. Для произведений мастера, даже для работ небольшого формата, характерны монументальность, аскетичная цветовая гамма с преобладанием оттенков синего и зеленого. По словам Богаевского, ему хотелось создать в своих произведениях «другой, фантастический мир». После революции индивидуальная манера художника почти не претерпела изменений. В его позднем творчестве, 1930-х, встречаются промышленные пейзажи, созданные во время творческих командировок в Баку, на Днепрострой, Донбасс и так далее. Оказал заметное влияние на художественное творчество Волошина. Произведения Богаевского находятся во многих музейных и частных собраниях, в том числе в Государственной Третьяковской галерее, Государственном Русском музее, ГМИИ им. А. С. Пушкина, Феодосийской картинной галерее им. И. К. Айвазовского и других.